刘强：巴菲特豪赌长期指数看跌期权



股神巴菲特在本年度致股东公开信中，用了整整一页讨论Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式应用于欧式超长期看跌期权所得出的“荒谬”结果。他写道：“试想我们出售了执行价为９０３点（标准普尔５００指数２００８年１２月３１日的水平）、１００年到期的１０亿美元的看跌期权。”巴菲特估算出自己的期望损失仅为５百万美元（１０亿美元×１％×５０％）。这里他假设到期时最大的可能损失为１０亿美元，而那时指数下降５０％的概率很小（１％）。其后他进一步指出，他的看跌期权交易出现亏损的可能性几乎不存在，并得出Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式定价是荒谬的结论。

实际上，巴菲特的结论颇具误导性，他对Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定价公式的理解是不正确的，他的计算结果是错误的。

１０亿美元的总损失。通过一个简单地计算，我们很容易重构巴菲特的头寸。跟巴菲特一样，我们取９０３点为执行价，并假设当前指数水平也为９０３点（即期权是平价的），波动率为１５.５％，无风险利率为３％。为简化起见，这里不考虑股利。需要指出的是，巴菲特并未在信中提到后面的这三个数据，但我们设定的数值应该说是比较合理的。这样一份期权的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ价值为２.５点。巴菲特认为，如果标准普尔５００指数从９０３点一直跌为零，他的总损失将为１０亿美元。也就是说，对他的头寸而言，指数的每一点相当于１１１万美元，那么他的期权头寸的价值约为２７６万美元，这与巴菲特给出的２５０万美元差别不算大。

令人难以置信的是，巴菲特计算其空头看跌期权期望损失的方法是错误的。原因有三：第一，那些损失较小而发生概率很大的可能与那些损失很大而发生概率较小的可能，都会显著地影响到期望损失的大小［注１］，而他根本就没有予于考虑；第二，巴菲特凭直觉给出的概率１％太小，缺乏任何理论依据；第三，如果Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ假设成立的话，Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权价值为无套利价格，与标的指数在真实世界中的回报率无关。

在Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型中，股票指数遵循几何布朗运动过程，其１００年后的水平是呈对数正态分布的。这样一来，看跌期权到期时被执行的概率是１－Ｎ（ｄ２）＝１２.３％（其中，Ｎ（＊）是累积正态分布函数，ｄ２是Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式中定义的参量）。我们要在风险中性世界、而非真实世界中计算ｄ２的值。同样，可以算出到期时指数比期权执行价至少低５０％的概率约为５.４％，而这是巴菲特直观估计值１％的五倍多。即使按照巴菲特的方法计算，１００年后的期望损失也至少为２千７百万美元，而不是巴菲特所说的５００万美元。如果到期时的最大损失为１０亿美元，期望损失的现值则应正好是２７６万美元，即前面算出的期权的出售价值，而不是巴菲特估出的区区２５万美元（５百万美元按１００年期、折现率３％折现）。毫无疑问，巴菲特将其期望损失至少低估了１０倍。

超长期期权。巴菲特在讨论中提及通货膨胀率、留存收益等现实数据，但理论上这些均与Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ无套利价格无关，不少从业人员及金融学学生也会犯同样的错误。不过，巴菲特不相信Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式对长期期权定价还是有一定道理的，可惜他的理由是错的。标准普尔５００指数的走势并非一定要是几何布朗运动，长期波动率可能是随机的，无风险利率在１００年的时间里也可能变动巨大，这些都有可能使Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ理论价值很离谱。遗憾的是，巴菲特并没有指出这些可能的漏洞。

而且，１００年期的期权的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ价格对波动率及无风险利率的微小变化都极为敏感。如果把无风险利率固定在３％，当波动率从１５.５％下降到１４.５％时，看跌期权价值下降了３３％；波动率下降到１０％时，期权价值下跌幅度甚至高达３６倍。如果保持１５.５％的波动率不变，把无风险利率从３％降低到２％，看跌期权的价值会跃升近十倍；把无风险利率从３％上升到４％，看跌期权的价值又将下跌近十倍。

以上结果告诉我们，即使Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式可以应用于长期期权，波动率与无风险利率等参数的细小差别，仍将导致不正确的期权价值［注２］。不幸的是对长期期权而言，我们无法先验地知道波动率与无风险利率应该取什么值。而如果我们连参数的“正确”与否都不能确定的话，我们又如何能判断Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式对长期期权的定价是高估、还是低估了呢？

这样看来，我们似乎陷入了一种两难境地。一方面，如果不用Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式，我们根本不知道如何计算（长期）期权的价值；另一方面，即使用了Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式，我们却又无法知道究竟是高估、还是低估了长期期权的价格。在这一点上，巴菲特也不例外。问题是，他又是如何得出Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ对长期期权的定价是“荒谬”的结论的呢？很明显，巴菲特在此犯了一个严重错误，误以为Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式或者其交易对手们高估了长期期权的价格。

基于这种错误的信念（以为这些交易近乎“免费午餐”），巴菲特售出了１５至２０年到期、最大总亏损高达３７１亿美元的指数看跌期权。金融学入门教材告诉我们，巴菲特的这种没有任何对冲的期权空头交易，不过是纯粹的赌博（投机）而已。

天才如巴菲特，竟然会犯如此低级的错误，故我们没有理由不同意他“衍生产品是危险的”断言，因为看跌期权不过是他所谓的“大规模破坏性金融武器”中最简单的一种。

注１．将指数水平作为一个连续随机变量显然更合适，而巴菲特似乎是把指数水平当作离散随机变量的。

注２．这似乎与物理学中的混沌现象类似。

转自西恩地