标题: 周末算题 [打印本页]
作者: 廖康 时间: 2009-3-28 23:52 标题: 周末算题
有写给7个不同人的信和信封，问最多可以有多少种方式把7封信都放入错误的信封？
这对学理科的来说也许太简单了。
作者: 廖康 时间: 2009-3-30 22:48
看来这个坛子里没有学理科的:-(
作者: 杨林 时间: 2009-3-31 01:06
Originally posted by 廖康 at 2009-3-30 07:48 PM:
看来这个坛子里没有学理科的:-(
我把CND的帖子搬过来（作了修改）。以C(m,n) 表示从m个里取n个不同组合，C(m,n)=m*(m-1)*...*(m-n+1)/n!。
S(2) = 1
S(3) = 2
S(4) = (C(4,2)/2)*S(2)*S(2) + (4-1)! = 3*1*1+6 = 9 【注1、2】
(S(2)*S(2) 表示分成两组，两组内交换）
S(5) = C(5,2)*S(2)*S(3) + (5-1)! = 10*1*2+24 = 44
（2 个一组和3个一组，组内全错；以及轮错）
S(6) = (C(6,2)*C(4,2)/3!)*S(2)*S(2)*S(2) +C(6,2)*S(2)*(4-1)! +(C(6,3)/2)*S(3)*S(3) + (6-1)! = 15 +15*6 +10*2*2+120 = 265
（3组：每组2个；2组：4-2或3-3，其中4-2组合不能包括(2-2)-2组合；轮错）
S(7) = C(7,3)*S(3)*S(4) + C(7,2)*S(2)(5-1)! + (7-1)!
= 35*2*9 + 21*24 + 720 = 1854
（3-4组合包括了3-2-2组合，所以2-5不能包括2-(2-3)组合；轮错）
【注1】四个分成两个两组的不同分法是C(4,2)/2，因为C(4,2)包含了12、34和34、12。同理，6个均分成两组的分法是C(6,3)/2。
【注2】n不能分成两组或两组以上的全错只能是一个圈，比如：12，23，34，……n1。这种圈有(n-1)!个不同的组合。
作者: 齐物 时间: 2009-3-31 05:54
Originally posted by 廖康 at 2009-3-31 03:48 AM:
看来这个坛子里没有学理科的:-(
廖兄谬也，你说对学理科的简单，自然学理科的以为这是留给学文科的作业。
好像并不简单，晚上来做这道题
作者: 廖康 时间: 2009-3-31 11:15
是啊，我现在才明白，这题其实对学理科的也很难。
作者: 笑雨 时间: 2009-3-31 11:24
这道题是俺读书时候的一道作业题，俺知道咋做，所以就不说了。呵呵
作者: 一元 时间: 2009-3-31 16:28
Originally posted by 廖康 at 2009-3-31 04:15 PM:
是啊，我现在才明白，这题其实对学理科的也很难。
是，这道题是排列组合里的精华题，很容易被误导。
作者: 齐物 时间: 2009-3-31 20:21
Originally posted by 廖康 at 2009-3-29 04:52 AM:
有写给7个不同人的信和信封，问最多可以有多少种方式把7封信都放入错误的信封？
这对学理科的来说也许太简单了。
我的方法比较笨：
从两封信开始：
2封信和信封
Total : 2!
只有1个正确 ： 0
只有2个正确 ： 1
只有0个正确 ： 2! – 0 – 1 = 1
3封信和信封
Total : 3!
只有1个正确 ： 3x1(一个正确，两个不正确，用到2封信的结果)
只有2个正确 ： 0
只有3个正确 ： 1
只有0个正确 ： 3! – 3x1 – 1 = 2
4封信和信封
Total : 4!
只有1个正确 ： 4x2 = 8 (用到3封信的结果,下同)
只有2个正确 ： C(4,2)/2! x 1 = 6
只有3个正确 ： 0
只有4个正确 ： 1
只有0个正确 ： 4! – 8 - 6 – 0 – 1 = 9
5封信和信封
Total : 5!
只有1个正确 ： 5x9 = 45
只有2个正确 ： C(5,2)/2! x 2 = 20
只有3个正确 ： C(5,3)/3! X 1 = 10
只有4个正确 ： 0
只有5个正确 ： 1
只有0个正确 ： 5! – 45 - 20 – 10 – 1 = 44
6封信和信封
Total : 6!
只有1个正确 ： 6x44 = 264
只有2个正确 ： C(6,2)/2! x 9 = 135
只有3个正确 ： C(6,3)/3! x 2 = 40
只有4个正确 ： C(6,4)/4! x 1 = 15
只有5个正确 ： 0
只有6个正确 ： 1
只有0个正确 ： 6! – 264 - 135 – 40 – 15 -1 = 265
7封信和信封
Total : 7!
只有1个正确 ： 7x265 = 1855
只有2个正确 ： C(7,2)/2! x 44 = 924
只有3个正确 ： C(7,3)/3! x 9 = 315
只有4个正确 ： C(7,4)/4! x 2 = 70
只有5个正确 ： C(7,5)/5! x 1 = 21
只有6个正确 ： 0
只有7个正确 ： 1
只有0个正确 ： 7! – 1855 - 924 – 315 – 70 - 21 - 1 = 1854
答案与杨林的一样，没那么简洁。
作者: 杨林 时间: 2009-3-31 21:57
Originally posted by 齐物 at 2009-3-31 05:21 PM:
我的方法比较笨：
从两封信开始：
2封信和信封
Total : 2!
只有1个正确 ： 0
只有2个正确 ： 1
只有0个正确 ： 2! – 0 – 1 = 1
3封信和信封
Total : 3!
只有1个正确 ： 3x1(一个正确，两个不正..
S(N) = N! - C(N,1)*S(N-1) - C(N,2)*S(N-2) - C(N,3)*S(N-3) - ... - C(N,N-2)*S(2) - 1
Here my C(N, k) is different from yours, but the same as mine: C(N,k) = N*(N-1)*...*(N-k+1)/k!
S(7) = 7! - 7*265 - 21*44 - 35*9 - 35*2 - 21*1 - 1
= 7(720 - 265 - 132 - 45 - 10 - 3) - 1 = 7*265 - 1 = 1854
In general, S(n) = n*S(n-1) + (-1)^n (n>2)
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